Untersumme Beispiel Essay

Beispielaufgabe

Berechne die Obersumme von %%f(x)=x%% über dem Intervall %%[0;1]%% mit Feinheit %%1%% und gib die Abweichung von %%\int_0^1x\mathrm{d}x%% an. Für welche Feinheit ist der Unterschied kleiner als 0,0001?

Lösungsskizze

Wenn Feinheit und vorgegebene Intervalllänge übereinstimmen, erhält man ein einziges Teilintervall, dessen Länge der Länge des Ausgangsintervalls entspricht.

Hier ergibt sich das Intervall %%[0;1]%% als Teilintervall der Länge 1. Aus der Monotonie der Funktion erhält man, dass an der Stelle %%x_0=1%% der maximale Funktionswert %%f(x_0)=1%% des Intervalls angenommen wird.

Für die Obersumme gilt somit: %%O(1)=x_0 \cdot f(x_0)=1 \cdot 1=1%%.

Für das Integral gilt hingegen: %%\int_0^1x\mathrm{d}x=\lbrack\frac{x^2}2\rbrack_0^1=\frac{1}2-0=\frac{1}2%%.

Somit ergibt sich eine absolute Abweichung von %%1-\frac{1}2=\frac{1}2%%.

Zur Berechnung der Feinheit:

Sei %%\mu(n):=\frac{1}n%% für %%n\in\mathbb{N}%% die Feinheit der Zerlegung. Somit ist die Länge aller Teilintervalle %%\frac{1}n%%. Dann nimmt die Funktion am rechten Rand eines jeden Teilintervalls ihren maximalen Funktionswert auf dem Teilintervall an.
Somit gilt für die Obersumme: %%O(n)=\overset n{\underset{i=1}{\frac1n\cdot\sum\frac in}}=\frac1{n^2}\cdot\sum_{i=1}^ni=\frac1{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+1)}2=\frac{n+1}{2n}%%.

Folglich gilt die Abweichung: %%O(n)-\frac12=\frac1{2n}%%. Also muss die Feinheit %%\frac{1}n%% kleiner als %%\frac1{5000}%% sein.

Beispielauswahl erfolgreicher Essays der Wettbewerbe

Essays des Bundes- und Landeswettbewerbs 2009

Essay - Jhg. 13, Märkische Schule Bochum
Der Verfasser wurde aufgrund dieses Essays zur Winterakademie eingeladen.

Essay - Jhg. 11, Sebastian-Münster-Gymnasium, Ingelheim
Die Verfasserin wurde aufgrund dieses Essays zur Winterakademie eingeladen.

Essay - Jhg. 13, Clara-Schumann-Gymnasium, Bonn
Der Verfasser wurde aufgrund dieses Essays zur Winterakademie eingeladen.

Essay - Jhg. 12, Immanuel-Kant-Gymnasium, Heiligenhaus
Die Verfasserin wurde aufgrund dieses Essays zur Winterakademie eingeladen.


Essay des Bundes- und Landeswettbewerbs 2008

Essay - Linda Gottschalk - Helmholtz-Gymnasium Hilden


Essay des Bundes- und Landeswettbewerbs 2007

Essay - Konstantin Kasakov - Heilwig-Gymnasium Hamburg, Jahrgangsstufe 12

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